Cho a, b là số dương thay đổi thỏa mãn a + b = 2 . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Q = \(2\left(a^2+b^2\right)-6\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+9\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)\)
Cho 3 số dương a,b,c thay đổi thỏa mãn: \(a^2+b^2+c^2=3\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=2\left(a+b+c\right)+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Ta có: \(0< a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow a^2,b^2,c^2< 3\Rightarrow a,b,c< \sqrt{3}< 2\)
Xét bất đẳng thức phụ: \(2a+\frac{1}{a}\ge\frac{1}{2}a^2+\frac{5}{2}\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-1\right)^2\left(2-a\right)}{2a}\ge0\)*đúng*
Áp dụng, ta được: \(P\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{5}{2}.3=9\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Cho a,b là các số dương thay đổi thỏa mãn a+b=2.Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(Q=2\left(a^2+b^2\right)-6\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+9\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)\)
Các dz giúp e vs.......................
\(2=a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\le1\Rightarrow-ab\ge-1\)
\(Q=2\left(a^2+b^2\right)-\frac{6\left(a^2+b^2\right)}{ab}+\frac{9\left(a^2+b^2\right)}{a^2b^2}\)
\(Q=\left(a^2+b^2\right)\left(\frac{9}{a^2b^2}-\frac{6}{ab}+2\right)\)
\(Q=\left(a^2+b^2\right)\left(\frac{3}{a^2b^2}-\frac{6}{ab}+3+\frac{6}{a^2b^2}-1\right)\)
\(Q=3\left(a^2+b^2\right)\left(\frac{1}{ab}-1\right)^2+\left(a^2+b^2\right)\left(\frac{6}{a^2b^2}-1\right)\)
\(Q\ge\left(a^2+b^2\right)\left(\frac{6}{a^2b^2}-1\right)\ge2ab\left(\frac{6}{a^2b^2}-1\right)=\frac{12}{ab}-2ab\ge\frac{12}{1}-2=10\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)
Lưu ý: \(\frac{6}{a^2b^2}\ge6\Rightarrow\frac{6}{a^2b^2}-1>0\) nên dòng 6 vẫn Am-GM được bình thường
Cho các số thực dương a , b , c thay đổi luôn thỏa mãn \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=3\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{\left(2a+b+c\right)^2}+\frac{1}{\left(2b+a+c\right)^2}+\frac{1}{\left(2c+a+b\right)^2}\)
ap dung bdt \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
\(\frac{1}{2a+b+c}=\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{16}\left[\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)^2+\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)^2+\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}^2\right)\right]\)
\(\Rightarrow16P\le\frac{2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{2}{\left(b+c\right)^2}+\frac{2}{\left(a+c^2\right)}+\frac{2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)\(+\frac{2}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
ap dung \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\) voi a+b=x, b+c=y, c+a=z
\(16P\le\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(b+c\right)^2}+\frac{4}{\left(c+a\right)^2}\)
tiếp tục áp dụng bdt ban đầu \(\frac{4}{a+b}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\le4.16.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2\)
\(\Rightarrow16P\le\frac{1}{4}.16\left[\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2+\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2+\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)^2\right]\)
=\(\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ac}\right)\)
tiep tuc ap dung bo de thu 2 ta co
\(16P\le\frac{1}{4}.4\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)=3\)
\(\Rightarrow p\le\frac{3}{16}\)dau =khi a=b=c=1
Nguồn : mạng :V vào thống kê coi hình
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : \(P=\frac{a^3}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b^3}{\left(c+a\right)^2}+\frac{c^3}{\left(a+b\right)^2}\)
Câu hỏi của Phạm Trần Minh Trí - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo.
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\frac{a^3}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b^3}{\left(c+a\right)^2}+\frac{c^3}{\left(a+b\right)^2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM: \(\frac{a^3}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+c}{8}\ge\frac{3}{4}a\)
Suy ra \(\frac{a^3}{\left(b+c\right)^2}\ge\frac{3a-b-c}{4}\)
Tương tự các BĐT còn lại và cộng theo vế ta được \(VT\ge\frac{a+b+c}{4}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b= c = 2
Có cách UCT :)
\(P=\Sigma_{cyc}\frac{a^3}{\left(6-a\right)^2}\)
Xét BĐT phụ: \(\frac{a^3}{\left(6-a\right)^2}\ge a-\frac{3}{2}\Leftrightarrow\frac{27\left(a-2\right)^2}{2\left(a-6\right)^2}\ge0\)(luôn đúng)
Thiết lập tương tự 2 BĐT còn lại và cộng theo vế..
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=2
Đó nhớ cho mình nha
cho cá số thực dương a,b,c thỏa mãn \(2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+c\left(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\right)=6\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\frac{bc}{a\left(2b+c\right)}+\frac{ca}{b\left(2a+c\right)}+\frac{4ab}{c\left(a+b\right)}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(6=2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+c\left(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\right)\)
\(\ge4+\frac{c\left(a^3+b^3\right)}{a^2b^2}\ge4+\frac{c\left(a+b\right)}{ab}\)\(\Rightarrow\frac{c\left(a+b\right)}{ab}\in\text{(}0;2\text{]}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz lại có:
\(P\ge\frac{\left(bc+ca\right)^2}{2abc\left(a+b+c\right)}+\frac{4}{\frac{c\left(a+b\right)}{ab}}\)\(\ge\frac{3c^2\left(a+b\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{4}{\frac{c\left(a+b\right)}{ab}}\)
\(=\frac{\frac{3c^2\left(a+b\right)^2}{a^2b^2}}{2\left(1+\frac{ca}{ab}+\frac{bc}{ab}\right)^2}+\frac{4}{\frac{c\left(a+b\right)}{ab}}\)
\(=\frac{\frac{3c^2\left(a+b\right)^2}{a^2b^2}}{2\left[1+\frac{c\left(a+b\right)}{ab}\right]^2}+\frac{4}{\frac{c\left(a+b\right)}{ab}}\)
Đặt \(x=\frac{c\left(a+b\right)}{ab}\left(x\in\text{(}0;2\text{]}\right)\) khi đó ta có:
\(P\ge\frac{3x^2}{2\left(1+x\right)^2}+\frac{4}{x}\) cần chứng minh \(P\ge\frac{8}{3}\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(7x^2+22x+12\right)\le0\forall x\in\text{(0;2]}\)
Vậy \(Min_P=\frac{8}{3}\) khi a=b=c=2
Chỗ dùng cauchy- schwarz mình không hiểu lắm
Cho a,b là hai số thực dương thỏa mãn :\(9a^2+4b^2=9\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=\left(1+a\right)\left(1+\frac{3}{2b}\right)+\left(1+\frac{2b}{3}\right)\left(1+\frac{1}{a}\right)\)
cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b<_c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(P=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
1) TÌm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P =\(\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}\)
2) Giải phương trình \(x^2+9x+21=\sqrt{2x+9}\)
3) Cho x ,y thay đổi thỏa mãn\(0< x< 1;0< y< 1\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =\(x+y+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\)
4) Cho các số dương a,b,c,d thỏa mãn \(ab+bc+ca=1\)
Chứng minh rằng: \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\ge\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{a^2}}+\sqrt{\frac{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}{b^2}}+\sqrt{\frac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{c^2}}\)